多項式因数分解計算機

因数定理はエンジン全体であり、剰余定理が得られれば、その証明は 1 行で済みます。分割する P(x) による (x − r) 次の定数剰余を残します P(r)。ゼロ剰余は正確な除算を意味し、まさに「因数である」という意味です。それで (x − r) まさにそのときの要因です P(r) = 0。手計算からコンピューター代数に至るまで、すべての因数分解戦略は、この等価性を中心に編成されています。

すべての三次関数には少なくとも 1 つの実線形因子があり、その理由は位相的なものです。奇数次の多項式は次のような傾向があります。 −∞ 片側と +∞ 一方では、中間値定理により、そのグラフはどこかで x 軸と交差する必要があります。この交差は実際の根であり、したがって実際の線形因子です。残った二次方程式は、実数をさらに考慮する場合もあれば、考慮しない場合もあります。 x3 − 2x² + x − 2 = (x − 2)(x² + 1) そこで立ち止まるのは、 x² + 1 実数のゼロはありません。

標準のハンド パイプラインには 3 つのステージがあります。まず、合理的な候補者をリストアップします。 有理根定理。次に、各候補を次のようにテストします。 合成除算、多項式を収縮させる除算としても機能します。第三に、残りの二次方程式を二次方程式で解きます。このパイプラインは完成です。定理により候補リストが網羅されているため、整数係数を持つ 3 次の有理因数が見つかります。

残った二次方程式が因数分解を拒否した場合、 判別式 その理由を説明します。負の判別式は、1 つの実数根と複素共役ペアを意味するため、二次方程式の部分は実数に対して真に既約です。例： x3 + x = x(x2 + 1) 単一の実数ルート 0 と複素数ペアを持ちます。 ±i。このケースを認識すると、存在しない合理的なルートを探す必要がなくなります。 複素根計算機 仕事を終えます。

「既約」には常に修飾語が必要です。どの数値に対して既約ですか? x² + 1 もう還元不可能です Q そしてそれ以上 R、しかし次のように分割されます (x − i)(x + i) 以上 C。ガウスの補題は、因数分解が次のように行われることを保証します。 Q 因数分解に一致します Z、これが、有理根検定のような整数係数法が理論的に完成している理由です。独自の因数分解では、どのように見つけても、正解は 1 つだけであることが保証されます。