Cubic Equation Solver
Gerçek ve karmaşık köklere sahip özel kübik denklem çözücü, Cardano yöntemi adımları, kübik grafik oluşturma ve çalışılmış örnekler.
Kübik polinomunuzu indirgenemez doğrusal ve ikinci dereceden faktörlerine ayrıştırmak için katsayıları girin.
Hesaplama: Polinom Çarpanlarına Ayırma Hesap Makinesi
Polinom Çarpanlarına Ayırma Hesap Makinesi
Polinom katsayılarınızı yukarıya girin ve sonuçları görmek için "Polinomu Çarpanlara Ayırma" öğesine tıklayın.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Faktör teoremi motorun tamamıdır ve kalan teoremi elde ettiğinizde kanıtı bir satırdır. Bölme P(x) ile (X − R) eşit bir sabit kalan bırakır P(r). Sıfır kalan, tam bölme anlamına gelir; bu da tam olarak "bir faktördür" anlamına gelir. Bu yüzden (X − R) tam olarak ne zaman bir faktördür P(r) = 0. Elle hesaplamadan bilgisayar cebirine kadar her çarpanlara ayırma stratejisi bu eşdeğerlik etrafında düzenlenmiştir.
Her kübik en az bir gerçek doğrusal faktöre sahiptir ve bunun nedeni topolojiktir. Tek dereceli bir polinom şu eğilimi gösterir: −∞ bir tarafta ve +∞ diğer yandan, ara değer teoremine göre grafiğinin x eksenini bir yerde kesmesi gerekir. Bu kesişme gerçek bir köktür, dolayısıyla gerçek bir doğrusal faktördür. Geriye kalan ikinci dereceden gerçek sayılar üzerinde daha fazla faktör olabilir veya olmayabilir: x³ − 2x² + x − 2 = (x − 2)(x² + 1) orada duruyor çünkü x² + 1 gerçek sıfırları yoktur.
Standart el boru hattının üç aşaması vardır. İlk önce rasyonel adayları şu şekilde listeleyin: rasyonel kök teoremi. İkinci olarak, her adayı şu şekilde test edin: sentetik bölüm, polinomun değerini düşüren bölme olarak iki katına çıkar. Üçüncü olarak, kalan ikinci dereceden denklemi ikinci dereceden formülle çözün. Bu boru hattı tamamlandı: tamsayı katsayılı bir kübikin herhangi bir rasyonel faktörü bulunacaktır, çünkü aday liste teorem açısından kapsamlıdır.
Geriye kalan ikinci dereceden faktör çarpanlara ayırmayı reddettiğinde, discriminant nedenini açıklıyor. Negatif bir diskriminant, bir gerçek kök artı bir karmaşık eşlenik çifti anlamına gelir; dolayısıyla ikinci dereceden parça, gerçek sayılara göre gerçekten indirgenemez. Örnek: x³ + x = x(x² + 1) tek gerçek kökü 0 ve karmaşık çifti vardır ±i. Bu durumun farkına varmak sizi var olmayan rasyonel köklerin peşinde koşmaktan kurtarır ve complex roots calculator işi bitirir.
"İndirgenemez" her zaman bir niteleyiciye ihtiyaç duyar: hangi sayılara göre indirgenemez? x² + 1 indirgenemez Q ve üzeri R, ancak şu şekilde bölünür: (X − i)(x + i) üzerinde C. Gauss'un lemması çarpanlara ayırmayı garanti eder Q çarpanlara ayırmayla eşleşir ZRasyonel kök testi gibi tamsayı katsayılı yöntemlerin teorik olarak tamamlanmış olmasının nedeni budur. Benzersiz çarpanlara ayırma, ne şekilde bulursanız bulun, yalnızca tek bir doğru yanıtın olacağını vaat eder.
The Applications
Faktoringli form her kökü çokluğuyla birlikte gösterir, böylece denklemin çözümü okumaya indirgenir. (x - 1)² gibi çift faktör, grafiğin kesişmek yerine oradaki eksene dokunduğunu gösterir; bu, ham genişletilmiş formun tamamen gizlediği bir ayrıntıdır.
Rasyonel ifadeler, pay ve payda çarpanlara ayrıldığında önemli ölçüde basitleşir: ortak faktörler herhangi bir değerlendirmeden önce iptal edilir. Bu, 0/0 belirsiz formları önler ve elle hesaplamanın yaklaşık yerine kesin olmasını sağlar.
Bilgisayar cebir sistemleri önce çarpanlara ayırır ve sonra sorular sorar. Entegrasyon, farklılaşma ve seri genişletmenin tümü terimsel olarak çarpanlara ayrılmış formlarda çalışır, bu nedenle çarpanlara ayırma her sembolik hesaplama yığınının temelinde yer alır.
Her doğrusal faktör bir x kesme noktasını işaretler ve üssü yerel şekli kontrol eder: tek çokluk kesişimleri, çift çokluk dokunuşları. ile kombine grafik aracı, çarpanlara ayrılmış form, doğru bir çizime giden en hızlı yoldur.
Rasyonel bir fonksiyonu kısmi kesirlere ayrıştırmak, paydayı tamamen çarpanlara ayırmakla başlar. Her farklı doğrusal ve indirgenemez ikinci dereceden faktör, genellikle kesri uygun hale getirmek için uzun bir bölme adımından sonra, ayrıştırmanın bir terimi haline gelir.
The Cautions
Her kübik faktörün rasyonel değerler üzerinden varsayılması: Birçoğu bunu yapmıyor. Kübik x³ - 2'nin tek gerçek kökü ∛2'dir ve hiçbir rasyonel çarpanı yoktur. Ne bekleyeceğinizi bilmek için önce diskriminantı kontrol edin.
Baş katsayı eksik: Faktörler tek başına hikayenin tamamı değildir. Öndeki katsayı olmadan çarpım orijinal polinomu yeniden üretmez.
Tüm rasyonel adayları kontrol etmemek: Rasyonel kök teoremindeki aday listesi sonlu olduğundan, girişleri atlamanın hiçbir mazereti yoktur. Hiçbir rasyonel kökün var olmadığı sonucuna varmadan önce her birini test edin.
Forgetting to deflate after finding a root: Keşfedilen her faktör, bir sonraki kökü aramadan önce bölünmelidir. Orijinal kübik ile çalışmak, halihazırda kazanmış olduğunuz basitleştirmeyi boşa harcar.
Doğrusal çarpı ikinci dereceden noktada durma: Her zaman kalan ikinci dereceden faktörlerin daha fazla olup olmadığını kontrol edin. İkinci dereceden x² - 5x + 6, (x - 2)(x - 3)'e bölünür ve erken ayrılmak işi yarım bırakır.
The Reference
The Collection
The Questions
Kökler, hemen, her biri kendi çeşitliliğiyle. Genişletilmiş form onları gizler; çarpanlara ayrılmış form bunları görüntüler. Sayısal değerler için bkz. kübik kök hesaplayıcı.
O zaman kökleri irrasyonel veya karmaşıktır ve hiçbir tamsayı katsayısı yöntemi onları bulamaz. Diskriminant size hangi durumda olduğunuzu söyler.
Neredeyse. Her doğrusal faktör (x - r) size doğrudan r kökünü verir, dolayısıyla tamamen çarpanlara ayrılmış bir kübik, çözülmüş bir kübiktir.
Evet. Örneğin (x - 1)²(x + 2) = x³ - 3x + 2 çift kök 1'e sahiptir. Sıfır diskriminant her zaman tekrarlanan bir faktöre işaret eder.
Çünkü a(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃) ≠ 1 ile tek başına faktörlerin çarpımından farklı bir polinomdur. Onu düşürmek her katsayıyı değiştirir.
Rasyonel adayları listeleyin, bunları test edin sentetik bölüm, ikinci dereceden bir sayıya indirip ikinci dereceden formülle bitirin.
Karmaşık sayılar üzerinde eşlenik doğrusal faktörlere bölünen, indirgenemez ikinci dereceden bir faktör olarak. karmaşık kökler hesaplayıcısı onları bulur.
Multiply the factors back out. Every coefficient of the product must match the original polynomial exactly.
