Cubic Equation Solver
Pemecah persamaan kubik khusus dengan akar nyata dan kompleks, langkah-langkah metode Cardano, grafik kubik, dan contoh kerja.
Masukkan koefisien untuk menguraikan polinomial kubik Anda menjadi faktor linier dan kuadrat yang tidak dapat direduksi.
Perhitungan: Kalkulator Faktorisasi Polinomial
Kalkulator Faktorisasi Polinomial
Masukkan koefisien polinomial Anda di atas dan klik "Faktorkan Polinomial" untuk melihat hasilnya.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Teorema faktornya adalah keseluruhan mesin, dan pembuktiannya adalah satu baris setelah Anda mendapatkan sisa teoremanya. Pemisah P(x) oleh (X − R) meninggalkan sisa konstan sama dengan P(r). Sisa nol berarti pembagian eksak, dan itulah arti dari "adalah faktor". Jadi (X − R) adalah faktor kapan tepatnya P(r) = 0. Setiap strategi pemfaktoran, mulai dari perhitungan tangan hingga aljabar komputer, disusun berdasarkan kesetaraan ini.
Setiap kubik memiliki setidaknya satu faktor linier nyata, dan alasannya bersifat topologis. Polinomial berderajat ganjil cenderung −∞ di satu sisi dan +∞ di sisi lain, jadi berdasarkan teorema nilai antara, grafiknya harus memotong sumbu x di suatu tempat. Persilangan tersebut merupakan akar real, sehingga merupakan faktor linier real. Kuadrat sisa mungkin atau mungkin tidak memfaktorkan lebih jauh dari bilangan real: x³ − 2x² + x − 2 = (x − 2)(x² + 1) berhenti disitu karena x² + 1 tidak memiliki angka nol nyata.
Pipa tangan standar memiliki tiga tahap. Pertama, daftarkan kandidat yang rasional dengan teorema akar rasional. Kedua, uji setiap kandidat dengan divisi sintetis, yang berfungsi ganda sebagai pembagian yang mengempiskan polinomial. Ketiga, selesaikan sisa kuadrat dengan rumus kuadrat. Saluran pipa ini selesai: faktor rasional apa pun dari kubik dengan koefisien bilangan bulat akan ditemukan, karena daftar kandidatnya lengkap berdasarkan teorema.
Jika kuadrat sisa tidak dapat difaktorkan, maka diskriminan menjelaskan alasannya. Diskriminan negatif berarti satu akar real ditambah pasangan konjugasi kompleks, sehingga potongan kuadrat tersebut benar-benar tidak dapat direduksi terhadap real. Contoh: x³ + x = x(x² + 1) mempunyai akar real tunggal 0 dan pasangan kompleks ±saya. Mengenali kasus ini menyelamatkan Anda dari perburuan akar rasional yang tidak ada, dan complex roots calculator menyelesaikan pekerjaannya.
"Tidak dapat direduksi" selalu membutuhkan kualifikasi: tidak dapat direduksi pada angka yang mana? x² + 1 tidak dapat direduksi lagi Q dan seterusnya R, tetapi terbagi sebagai (x − saya)(x + saya) lebih C. Lemma Gauss menjamin faktorisasi selesai Q cocok dengan faktorisasi berakhir Z, itulah sebabnya metode koefisien bilangan bulat seperti uji akar rasional secara teoritis lengkap. Faktorisasi unik kemudian menjanjikan hanya ada satu jawaban yang benar, bagaimanapun Anda menemukannya.
The Applications
Bentuk yang difaktorkan menampilkan setiap akar beserta multiplisitasnya, sehingga menyelesaikan persamaan hanya sebatas membaca. Faktor ganda seperti (x - 1)² memberi tahu Anda bahwa grafik menyentuh sumbu di sana alih-alih bersilangan, detail yang disembunyikan sepenuhnya oleh bentuk mentah yang diperluas.
Rational expressions simplify dramatically once numerator and denominator are factored: common factors cancel before any evaluation. This avoids 0/0 indeterminate forms and keeps hand computation exact instead of approximate.
Faktor sistem aljabar komputer terlebih dahulu dan ajukan pertanyaan kemudian. Integrasi, diferensiasi, dan perluasan deret semuanya berjalan secara termwise pada bentuk-bentuk yang difaktorkan, itulah sebabnya pemfaktoran berada di dasar setiap tumpukan komputasi simbolik.
Setiap faktor linier menandai perpotongan x, dan eksponennya mengontrol bentuk lokal: persilangan multiplisitas ganjil, multiplisitas genap bersentuhan. Dikombinasikan dengan alat grafik, bentuk yang difaktorkan adalah jalan tercepat menuju sketsa yang akurat.
Penguraian fungsi rasional menjadi pecahan parsial dimulai dengan memfaktorkan penyebutnya secara lengkap. Setiap faktor kuadrat linier dan tak tersederhanakan menjadi satu suku penguraian, biasanya setelah melalui langkah pembagian yang panjang untuk menjadikan pecahan tersebut layak.
The Cautions
Dengan asumsi setiap faktor kubik di atas rasional: Banyak yang tidak. Kubik x³ - 2 mempunyai akar real tunggal ∛2 dan tidak memiliki faktor rasional sama sekali. Periksa diskriminannya terlebih dahulu sehingga Anda tahu apa yang diharapkan.
Missing the leading coefficient: Faktor-faktornya saja bukanlah keseluruhan cerita. Tanpa koefisien terdepan a di depan, hasil kali tidak akan mereproduksi polinomial aslinya.
Tidak memeriksa semua kandidat yang rasional: Daftar kandidat dari teorema akar rasional terbatas, jadi tidak ada alasan untuk melewatkan entri. Uji semuanya sebelum menyimpulkan bahwa tidak ada akar rasional.
Lupa mengempis setelah menemukan root: Setiap faktor yang ditemukan harus dibagi sebelum mencari akar berikutnya. Bekerja dengan kubik asli akan membuang-buang penyederhanaan yang sudah Anda peroleh.
Berhenti pada waktu linier kuadrat: Selalu periksa apakah ada faktor kuadrat yang tersisa. Kuadrat x² - 5x + 6 terbagi menjadi (x - 2)(x - 3), dan berhenti lebih awal akan membuat pekerjaan setengah selesai.
The Reference
The Collection
The Questions
Akar-akarnya, segera, masing-masing dengan keberagamannya. Bentuk yang diperluas menyembunyikannya; bentuk yang difaktorkan menampilkannya. Untuk nilai numerik, lihat kami kalkulator akar kubik.
Maka akar-akarnya bersifat irasional atau kompleks, dan tidak ada metode koefisien bilangan bulat yang dapat menemukannya. Diskriminan memberi tahu Anda dalam kasus mana Anda berada.
Hampir. Setiap faktor linier (x - r) memberi Anda akar r secara langsung, sehingga kubik yang terfaktor sepenuhnya adalah kubik terselesaikan.
Yes. For example (x - 1)²(x + 2) = x³ - 3x + 2 has the double root 1. A zero discriminant always signals a repeated factor.
Karena a(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃) dengan a ≠ 1 adalah polinomial yang berbeda dengan hasil kali faktor-faktornya saja. Menjatuhkannya akan mengubah setiap koefisien.
Buat daftar kandidat yang rasional, ujilah mereka divisi sintetis, kempiskan menjadi kuadrat, dan akhiri dengan rumus kuadrat.
Sebagai faktor kuadrat tak tereduksi, yang terpecah menjadi faktor linier konjugasi pada bilangan kompleks. Itu complex roots calculator menemukan mereka.
Lipat gandakan faktornya kembali. Setiap koefisien hasil kali harus sama persis dengan polinomial aslinya.
