Cubic Equation Solver
Pemecah persamaan kubik khusus dengan akar nyata dan kompleks, langkah-langkah metode Cardano, grafik kubik, dan contoh kerja.
Berikan koefisien kubik dan nilai pembagi r untuk melakukan pembagian panjang polinomial penuh dengan (x − r).
Perhitungan: Kalkulator Pembagian Panjang Polinomial
Kalkulator Pembagian Panjang Polinomial
Masukkan koefisien polinomial Anda di atas dan klik "Lakukan Divisi Panjang" untuk melihat hasilnya.The Treatise
The Formula
The Method
The Illustration
The Deep Dive
Algoritmenya selalu berakhir, dan alasannya sangat sederhana: setiap siklus menghilangkan suku terdepan saat ini, sehingga derajat sisa berjalan menurun drastis. Deret bilangan bulat yang menurun secara ketat tidak dapat berlangsung selamanya, sehingga prosesnya harus dihentikan. Ia berhenti tepat ketika derajat sisanya berada di bawah derajat pembagi, yang merupakan sifat penentu derajat R < derajat D. Oleh karena itu, penghentian bukanlah keberuntungan melainkan aritmatika. Hasil bagi dan sisanya juga unik: tidak ada dua pasangan berbeda yang dapat memenuhi pembagian yang sama, itulah sebabnya memeriksa jawaban dengan rekonstruksi sangatlah menentukan.
Syarat gelar sisanya adalah melakukan kerja nyata. Ketika pembaginya adalah (X − C), sisanya harus mempunyai derajat kurang dari 1, artinya merupakan konstanta. Konstanta itu adalah P(c), yang merupakan teorema sisa muncul sebagai kasus khusus pembagian panjang. Untuk pembagi kuadrat, sisanya bisa linier, itulah sebabnya dekomposisi pecahan parsial memiliki bentuk yang sama.
Divisi sintetis dan pembagian panjang melakukan aritmatika yang identik untuk pembagi linier; sintetik hanya menghilangkan pangkat x dan melipat setiap pengurangan menjadi penjumlahan dari hasil kali yang dinegasikan. Aturan praktisnya: pembagi monik linier menjadi pembagi sintetik, yang lainnya menjadi pembagian panjang. Mengetahui keduanya berarti tidak pernah menulis lebih dari yang dituntut oleh masalah.
Membagi setiap faktor linier yang ditemukan secara bergantian adalah rantai deflasi yang menggerakkan faktor tersebut kalkulator faktorisasi. Untuk kubik, dua pembagian mengurangi soal menjadi kuadrat, dan rumus kuadrat menyelesaikannya. Pembagian panjang adalah alat umum dalam rantai ini karena pembagi perantara tidak selalu linier: pembagian dengan faktor kuadrat yang diketahui bekerja dengan cara yang sama.
Pembagian panjang berulang menghitung GCD polinomial melalui algoritma Euclid: gcd(P, Q) = gcd(Q, R) Di mana R adalah sisa dari P.Q. Sebuah hal yang tidak sepele gcd(P, P′) mengungkapkan faktor berulang, karena akar ganda dari P juga merupakan akar dari turunannya. Misalnya, P = x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2) memiliki P′ = 3x² − 3, dan algoritma Euclid pada pasangan tersebut mengekspos faktor bersama mereka (X − 1). Ini adalah rute komputasi untuk mendeteksi Δ = 0 kasus itu kalkulator diskriminan mengklasifikasikan.
The Applications
Sebelum menguraikan fungsi rasional, bagilah jika derajat pembilangnya memenuhi atau melebihi derajat penyebutnya. Bagian polinomialnya muncul di depan dan sisanya menjadi pecahan biasa yang siap diurai. Melewatkan langkah ini akan memaksa mesin pecahan parsial untuk menangani bentuk yang tidak tepat yang tidak pernah dirancang untuknya.
Insinyur kontrol secara rutin mengurangi fungsi transfer tingkat tinggi dengan membagi faktor kutub yang diketahui. Setiap divisi menurunkan urutan berdasarkan derajat pembagi sementara sisanya melacak apa yang dihapus, menjaga model yang dikurangi tetap sesuai dengan aslinya.
Diduga (x - 2) merupakan faktor? Bagilah dengan itu. Sisa nol adalah bukti, sisa bukan nol adalah keputusan, dan pertanyaannya diselesaikan tanpa menebak-nebak. Pasangkan ini dengan daftar kandidat dari teorema akar rasional untuk alur kerja penyelesaian tangan yang lengkap.
Membagi pembilang dengan penyebut suatu fungsi rasional memperlihatkan perilaku akhirnya: hasil bagi adalah asimtot miring atau horizontal yang graphing tool pendekatan yang ekstrem.
Model fisika dan teknik sering kali hadir dalam bentuk rasio polinomial. Pembagian memisahkan perilaku polinomial dari bagian pecahan, membuat perkiraan dan analisis jauh lebih mudah.
The Cautions
Menyelaraskan istilah berdasarkan derajatnya: Setiap suku harus berada pada kolom derajatnya. Satu suku yang digeser akan merusak semua pengurangan berikutnya, jadi sejajarkan dulu dan hitung yang kedua.
Kesalahan tanda pengurangan: Langkahnya adalah mengurangi, bukan menambah. Kesalahan klasiknya adalah lupa membalik setiap tanda baris yang dikalikan sebelum digabungkan.
Berhenti terlalu dini atau terlambat: Berhenti tepat ketika sisa berjalan mempunyai derajat lebih rendah dari pembagi. Melanjutkan lebih lanjut menciptakan suku-suku pecahan yang bukan miliknya.
Melewati nol placeholder: Kekuasaan yang hilang masih memiliki kolom. Tulis 0x² secara eksplisit, atau kolom akan runtuh dan setiap siklus membagi suku yang salah.
Menukar dividen dan pembagi: P − D bukan D − P. Jika pembaginya mempunyai derajat yang lebih tinggi daripada pembaginya, maka hasil bagi adalah 0 dan sisanya adalah pembagi itu sendiri.
The Reference
The Questions
Kapan pun pembaginya tidak berbentuk (x - c): pembagi kuadrat, pembagi derajat tinggi, atau linier non-monik yang tidak ingin Anda sesuaikan.
Pembagi adalah faktor asli. Berikan ke kalkulator faktorisasi untuk terus memecah polinomialnya.
Pembagi bukanlah suatu faktor. Jika pembaginya adalah (x - c), sisanya tetap sama dengan P(c) kali teorema sisa, sehingga pekerjaannya tidak sia-sia: Anda mengevaluasi polinomial di c.
Ya, tanpa pengganti untuk kekuatan yang hilang. Urutan dan perataan inilah yang membuat aritmatika kolom menjadi valid.
Maka hasil bagi adalah 0 dan sisanya adalah pembagian itu sendiri. Tidak diperlukan perhitungan.
Hitung (Pembagi × Hasil Bagi) + Sisa dan konfirmasikan bahwa itu mereproduksi suku dividen untuk suku. Karena pasangan hasil bagi-sisa adalah unik, rekonstruksi yang berhasil merupakan bukti kebenaran yang lengkap.
For linear divisors, yes: divisi sintetis adalah perhitungan yang sama dengan pangkat x dihilangkan. Hasil bagi dan sisanya sama; hanya pembukuannya yang berbeda.
Ya. Menghapus penyebut terlebih dahulu membuat aritmatika lebih rapi, namun algoritme berfungsi di bidang apa pun.
