삼차 방정식 판별식 계산기

판별식은 마법의 공식이 아닙니다. 그것은 구체적인 기하학적 의미를 가지고 있습니다: 인자까지 ⁴, 이는 세 근의 차이 제곱의 곱과 같습니다. Δ = a⁴(r₁ − r²)²(r₁ − r₃)²(r² − r₃)². 각 제곱 차이는 한 쌍의 뿌리가 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 측정합니다. 두 근이 일치하면 한 요소는 0이 되고 전체 제품은 0으로 붕괴됩니다. 이 단일 항등식은 판별식의 모든 속성을 설명합니다. 계수에서 대칭인 이유, 해당 부호가 근을 분류하는 이유 및 이유 Δ = 0 이는 정확히 다중 루트의 조건입니다.

세 가지 사례를 자세히 살펴볼 가치가 있습니다. 언제 Δ > 0, 3차는 x축을 세 번 교차합니다. x³ − 6x² + 11x − 6 근 1, 2, 3이 있는 경우. Δ = 0, 곡선은 반복되는 루트에서 축에 닿습니다. x³ − 3x² + 3x − 1 = (엑스 − 1)³ 삼중근의 극단적인 경우이다. 언제 Δ < 0, 하나의 실수 교배가 있고 다른 두 근은 복소 공액 쌍을 형성합니다. 복잡한 뿌리 계산기 직접 찾아냅니다. 이 세 가지 모양을 나란히 스케치하는 것이 지속적인 직관을 구축하는 가장 빠른 방법입니다.

눌려진 삼차를 통해 판별식으로 가는 더 짧은 길이 있습니다. 대체 x = t − b/3a 2차 항을 제거하고 그대로 둡니다. t³ + pt + q = 0, 어디 피 그리고 큐 원래 계수의 고정된 조합입니다. 이 형태에서 판별식은 다음과 같이 극적으로 단순화됩니다. Δ = −(4p³ + 27q²). 5개가 아닌 2개의 용어입니다. 이것이 Cardano 자신이 작업한 형식이며, 이것이 바로 우리가 우울한 입방 계산기 존재합니다: 감소가 먼저, 분석이 두 번째입니다.

사건 Δ = 0 더 갈라집니다. 이중근과 단순근은 다음과 같습니다. (엑스 − 2)²(x + 1) = x³ − 3x² + 4: 곡선이 축과 접촉하는 위치 엑스 = 2 그리고 교차점 x = −1. 다음과 같은 삼중근 (엑스 − 1)³ 접촉점에서 곡선을 완전히 평평하게 만듭니다. 둘 다 준다 Δ = 0, 그리고 이들을 구별하려면 파생 상품이 루트를 공유하는지 확인해야 합니다. 우리의 전환점 계산기 이 기하학을 직접적으로 보여줍니다. 다중 루트에서 전환점은 정확히 x축에 위치합니다.

여기가 가장 깊은 상처입니다. 언제 Δ > 0 그러나 삼차는 유리수로 환원될 수 없으므로 Cardano의 공식은 복소수의 세제곱 근을 사용하여 세 개의 실수 근을 표현합니다. 이것이 환원 불가능한 원인(casus irreducibilis)입니다. 즉, 복소 평면을 통과해야만 도달할 수 있는 실제 답변입니다. 이는 수세기 동안 수학자들을 괴롭혔으며 복소수가 수학에서 그 자리를 차지하게 된 이유 중 하나였습니다. 판별자는 이 현상의 문지기입니다. Cardano의 방법 계산기 복잡한 우회를 포함한 모든 중간 단계를 보여줍니다.