Como resolver equações cúbicas
Um guia prático para resolver equações cúbicas, desde verificações rápidas de fatoração até o método Cardano completo.
Índice
Factoring por Inspeção
Comece procurando fatores comuns, oportunidades de agrupamento ou identidades conhecidas.
- Fator comum: x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2)
- Agrupamento: x³ + x² - x - 1 = x²(x+1) - (x+1) = (x+1)(x² - 1)
- Diferença de cubos: x³ - a³ = (x - a)(x² + machado + a²)
Teorema da Raiz Racional
Se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional p/q, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder.
Por exemplo, para 2x³ - 3x² - 8x + 12 = 0, as possíveis raízes racionais vêm dos fatores de 12 sobre os fatores de 2.
Divisão Sintética
Uma vez encontrada uma raiz racional r, divida a cúbica por (x - r) para reduzir o problema a quadrático.
ax³ + bx² + cx + d = (x - r)(ax² + b₁x + c₁)
Método de Cardano
- Normalize a cúbica.
- Substitua x = t - b/(3a) para remover o termo quadrático.
- Resolva o cúbico deprimido t³ + pt + q = 0.
- Calcule Delta = q²/4 + p³/27.
- Aplique a fórmula raiz correspondente e converta novamente para x.
Nosso solucionador de equações cúbicas automatiza esse processo e mostra cada etapa em um formato mais limpo.
Método trigonométrico
Quando Delta é negativo, a cúbica tem três raízes reais distintas e a forma trigonométrica costuma ser o caminho mais claro.
Defina r = 2 sqrt(-p/3) e theta = (1/3) arccos(-q / (2 sqrt(-p³/27))) e, em seguida, construa as três raízes a partir das mudanças de cosseno.
Aproximação Numérica
Quando uma forma simbólica exata não é necessária, os métodos numéricos fornecem aproximações rápidas.
- Newton-Raphson:xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- Bisection: reduz um intervalo onde a função muda de sinal
- Estimativa gráfica: inspecione onde a cúbica cruza o eixo x
Pronto para praticar?
Tente resolver equações cúbicas com a ferramenta interativa e compare o resultado com os métodos acima.
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Encontre respostas rápidas para perguntas comuns sobre equações cúbicas e nossos métodos de resolução.