三次方程式を解く方法
簡単な因数分解チェックから完全な Cardano メソッドまで、3 次方程式を解くための実践的なガイドです。
目次
1
検査による因数分解
まず、共通因数、グループ化の機会、または既知の恒等式を探します。
- 共通因数: x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2)
- グループ化: x³ + x² - x - 1 = x²(x+1) - (x+1) = (x+1)(x² - 1)
- 立方体の違い: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²)
2
有理根定理
整数の係数を持つ多項式の有理根 p/q がある場合、p は定数項を除算し、q は先頭の係数を除算します。
p は d を除算し、q は a を除算します
たとえば、2x³ - 3x² - 8x + 12 = 0 の場合、考えられる有理根は 2 の因数にわたる 12 の因数から得られます。
3
合成割り算
有理根 r が見つかったら、3 次を (x - r) で割って問題を 2 次式にします。
ax3 + bx² + cx + d = (x - r)(ax² + b₁x + c₁)
4
カルダノの方法
- 3 次を正規化します。
- x = t - b/(3a) を代入します。二次項を削除します。
- ディプレスト 3 次 t³ + pt + q = 0 を解きます。
- デルタ = q²/4 + p³/27 を計算します。
- 一致するルート公式を適用し、x に変換し直します。
3 次方程式ソルバー はこのプロセスを自動化し、各ステップをよりクリーンな形式で表示します。
5
三角関数方法
デルタが負の場合、3 次関数には 3 つの異なる実根があり、三角関数形式が最も明確なルートとなることがよくあります。
r = 2 sqrt(-p/3) および theta = (1/3) arccos(-q / (2 sqrt(-p³/27))) と設定し、コサイン シフトから 3 つの根を構築します。
6
数値近似
正確な記号形式は必要ありません。数値的手法により簡単な近似が得られます。
- ニュートン・ラフソン: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
- 二分法: 関数の符号が変わる区間を縮小します
- グラフィック推定: 検査3 次方程式が X 軸と交差する場所
how_to_faq_title
3 次方程式とその解法に関するよくある質問に対する簡単な回答を見つけてください。
3次方程式とは何ですか?
3次方程式は、標準の3次形式で記述された3次多項式であり、先頭の係数をゼロにすることはできません。
このソルバーは複雑なルートを表示できますか?
はい。方程式に 1 つの実根と複素共役のペアがある場合、結果セクションにはそれらが明確に表示され、複素数としてラベル付けされます。
なぜ係数 a がそれほど重要なのでしょうか?
a = 0 の場合、方程式は 3 次ではなくなります。 UI はこれをすぐに検証し、ソルバーが続行できない理由を説明します。
ステップバイステップのセクションには何が表示されますか?
正規化された方程式、ディプレスト 3 次変換、判別式、および最終解釈がまとめられているため、ソルバーがよりわかりやすく感じられます。