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三次方程式を解く方法

簡単な因数分解チェックから完全な Cardano メソッドまで、3 次方程式を解くための実践的なガイドです。

目次

1

検査による因数分解

まず、共通因数、グループ化の機会、または既知の恒等式を探します。

  • 共通因数: x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2)
  • グループ化: x³ + x² - x - 1 = x²(x+1) - (x+1) = (x+1)(x² - 1)
  • 立方体の違い: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²)
2

有理根定理

整数の係数を持つ多項式の有理根 p/q がある場合、p は定数項を除算し、q は先頭の係数を除算します。

p は d を除算し、q は a を除算します

たとえば、2x³ - 3x² - 8x + 12 = 0 の場合、考えられる有理根は 2 の因数にわたる 12 の因数から得られます。

3

合成割り算

有理根 r が見つかったら、3 次を (x - r) で割って問題を 2 次式にします。

ax3 + bx² + cx + d = (x - r)(ax² + b₁x + c₁)
4

カルダノの方法

  1. Step 1: 3 次を正規化します。
  2. Step 2: x = t - b/(3a) を代入します。二次項を削除します。
  3. Step 3: ディプレスト 3 次 t³ + pt + q = 0 を解きます。
  4. Step 4: デルタ = q²/4 + p³/27 を計算します。
  5. Step 5: 一致するルート公式を適用し、x に変換し直します。

3 次方程式ソルバー はこのプロセスを自動化し、各ステップをよりクリーンな形式で表示します。

5

三角関数方法

デルタが負の場合、3 次関数には 3 つの異なる実根があり、三角関数形式が最も明確なルートとなることがよくあります。

r = 2 sqrt(-p/3) および theta = (1/3) arccos(-q / (2 sqrt(-p³/27))) と設定し、コサイン シフトから 3 つの根を構築します。

6

数値近似

正確な記号形式は必要ありません。数値的手法により簡単な近似が得られます。

  • ニュートン・ラフソン: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
  • 二分法: 関数の符号が変わる区間を縮小します
  • グラフィック推定: 検査3 次方程式が X 軸と交差する場所

練習の準備はできましたか?

インタラクティブ ツールを使用して 3 次方程式を解いて、その結果を上記の方法と比較してください。

3 次方程式ソルバーを開く 実際の例を表示する

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3次方程式とは何ですか?

3次方程式は、標準の3次形式で記述された3次多項式であり、先頭の係数をゼロにすることはできません。

このソルバーは複雑なルートを表示できますか?

はい。方程式に 1 つの実根と複素共役のペアがある場合、結果セクションにはそれらが明確に表示され、複素数としてラベル付けされます。

なぜ係数 a がそれほど重要なのでしょうか?

a = 0 の場合、方程式は 3 次ではなくなります。 UI はこれをすぐに検証し、ソルバーが続行できない理由を説明します。

ステップバイステップのセクションには何が表示されますか?

正規化された方程式、ディプレスト 3 次変換、判別式、および最終解釈がまとめられているため、ソルバーがよりわかりやすく感じられます。